第49章 得证（1 / 3）
“现在，需要的递推公式出来了，接下来就是进一步的区分、验算、缔造，看看一开始的想法是否行得通。”
“在这里，我们需要分情况討论。当n是偶数项，n=2m，m是正整数时，通过不断使用递推公式可得：p2m=(2m-1)/2mx(2m-3)/(2m-2)x……x1/2xp0，且p0=∫(0→π/2)dx=π/2。”
“当n是奇数项……p2m+1……p1=1。”
“这时，因0≤sinx≤1在（0，π/2）上成立，可知p2m+1≤p2m≤p2m-1，然后，再计算当m趋於无穷时p2m+1/p2m-1的情况，並將两者的表达式代入简化……”
“最终可得，当m趋於正无穷时，π/2=n（n=1→m）(2n)^2 /((2n-1)(2n+1))，由此，原式得证。”
写到这里，罗伦停了笔。
其实正常情况下，证明关於π/2的无穷乘积的常规思维逻辑，是要通过欧拉正弦乘积公式来解决的，那才是標誌性的微积分思维链。
也就是对sinx/x进行无穷乘积展开，然后进行变换。
不过，正弦乘积无穷展开的方法，涉及到一些比较麻烦的东西——正弦函数的无穷乘积收敛性与零点问题。
罗伦的做法，则是先基於积分的分部积分法得到递推关係，隨后再利用函数的单调性，並通过求极限来推导出最终的乘积公式。
他这样做，在微积分体系完善的情况下，算是完美的证法，可在微积分体系不完善的情况下，那肯定是有瑕疵的，但好歹是规避了零点问题，把瑕疵与不严谨限定在了一个问题上——极限的概念。
这个问题说大也大，大到可以把微积分打成错误学说的地步。
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说小也小，小到即便不用管它微积分依旧能蓬勃发展。
现在，就看算术迷宫的规则，给不给判定通过了。
看题目上所写的『请试著证明』的字眼，罗伦觉得给判定通过的可能性很大。
果不其然。
他停笔之后，当西蒙娜与莫利斯还在盯著他书写的內容进行思索与甄別之时，这片空间已然嗡嗡震动起来。
紧接著，教室大门轰然打开，意味著这一关过了，同时也代表著他的证明被判定通过。
“门开了，这，这就证出来了吗？”
西蒙娜喃喃说道，目光在教室门口与罗伦的身上晃了晃，然后又落到那份证明之上，有些不可思议。
莫利斯此刻却死死盯著罗伦写的证明內容，好半晌都没发出声音，但当他开始发出声音之时，语调已然是激动到带了一丝颤抖：
“沃特乘积，这可是在难题榜上呆了五十年的沃特乘积啊，居然，居然就这样被证明出来了……”
他说著，脑袋陡然转向罗伦，眼中染上了一丝炙热之意：
“天才，天才，罗伦，你一定是个数学天才！”
“你到底是怎么想到这种证明思路的？”
“別敷衍我说是因为梦中所得，我不信，这种標誌性的数学知识，如果是得自梦中，那一定会伴隨著庞大的精神能量或其他精神宝物，而你没有！”
“……”罗伦对上莫利斯的视线，一阵语塞。
话都让你给堵死了，还要让我怎么说？
於是，罗伦乾脆做出一脸无辜状，並带上了一丝害怕之意，但就是不吱声。 ↑返回顶部↑
“在这里，我们需要分情况討论。当n是偶数项，n=2m，m是正整数时，通过不断使用递推公式可得：p2m=(2m-1)/2mx(2m-3)/(2m-2)x……x1/2xp0，且p0=∫(0→π/2)dx=π/2。”
“当n是奇数项……p2m+1……p1=1。”
“这时，因0≤sinx≤1在（0，π/2）上成立，可知p2m+1≤p2m≤p2m-1，然后，再计算当m趋於无穷时p2m+1/p2m-1的情况，並將两者的表达式代入简化……”
“最终可得，当m趋於正无穷时，π/2=n（n=1→m）(2n)^2 /((2n-1)(2n+1))，由此，原式得证。”
写到这里，罗伦停了笔。
其实正常情况下，证明关於π/2的无穷乘积的常规思维逻辑，是要通过欧拉正弦乘积公式来解决的，那才是標誌性的微积分思维链。
也就是对sinx/x进行无穷乘积展开，然后进行变换。
不过，正弦乘积无穷展开的方法，涉及到一些比较麻烦的东西——正弦函数的无穷乘积收敛性与零点问题。
罗伦的做法，则是先基於积分的分部积分法得到递推关係，隨后再利用函数的单调性，並通过求极限来推导出最终的乘积公式。
他这样做，在微积分体系完善的情况下，算是完美的证法，可在微积分体系不完善的情况下，那肯定是有瑕疵的，但好歹是规避了零点问题，把瑕疵与不严谨限定在了一个问题上——极限的概念。
这个问题说大也大，大到可以把微积分打成错误学说的地步。
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现在，就看算术迷宫的规则，给不给判定通过了。
看题目上所写的『请试著证明』的字眼，罗伦觉得给判定通过的可能性很大。
果不其然。
他停笔之后，当西蒙娜与莫利斯还在盯著他书写的內容进行思索与甄別之时，这片空间已然嗡嗡震动起来。
紧接著，教室大门轰然打开，意味著这一关过了，同时也代表著他的证明被判定通过。
“门开了，这，这就证出来了吗？”
西蒙娜喃喃说道，目光在教室门口与罗伦的身上晃了晃，然后又落到那份证明之上，有些不可思议。
莫利斯此刻却死死盯著罗伦写的证明內容，好半晌都没发出声音，但当他开始发出声音之时，语调已然是激动到带了一丝颤抖：
“沃特乘积，这可是在难题榜上呆了五十年的沃特乘积啊，居然，居然就这样被证明出来了……”
他说著，脑袋陡然转向罗伦，眼中染上了一丝炙热之意：
“天才，天才，罗伦，你一定是个数学天才！”
“你到底是怎么想到这种证明思路的？”
“別敷衍我说是因为梦中所得，我不信，这种標誌性的数学知识，如果是得自梦中，那一定会伴隨著庞大的精神能量或其他精神宝物，而你没有！”
“……”罗伦对上莫利斯的视线，一阵语塞。
话都让你给堵死了，还要让我怎么说？
於是，罗伦乾脆做出一脸无辜状，並带上了一丝害怕之意，但就是不吱声。 ↑返回顶部↑