第259章 课后习题（1 / 3）
肖宿想了几秒，在白板上写下了一个速率泛函i(f)，又在旁边写了一个变分条件。
“速率泛函的形式確实依赖於测度的选取，但是物理上关心的却不是速率泛函本身，而是它在鞍点附近的二阶变分。
而二阶变分和测度无关。”
他在变分条件旁边画了一个等號，“只要巴拿赫空间满足稳定的嵌入性质，鞍点处的hessian算子在所有等价测度下都有相同的谱。
而从物理规律上就能判定，鞍点附近的涨落谱是唯一確定的。
测度的自由度只影响远离鞍点的尾部分布，不影响鞍点附近的主导贡献。”
彭远征盯著那行变分条件，慢慢点了点头：
“如果二阶变分是测度无关的，那大偏差的速率泛函本身虽然不同，但它们在鞍点附近的局部展开是一样的？
这个性质在有限维鞍点近似里是平凡的，但在无穷维巴拿赫空间里应该需要额外的条件，稳定的嵌入性质够不够？”
“不够，还得满足hessian算子是跡类的。”
肖宿在变分条件下面又补了一行，“跡类条件保证了二阶变分的fredholm行列式收敛，这个收敛性在所有等价测度下保持一致，物理上对应鞍点附近涨落的归一化因子是唯一的。”
彭远征看完，眉头彻底舒展开开来，心里的疙瘩一下就没了。
radon-nikodym性质选测度，跡类条件锁二阶变分，稳定的嵌入性质保证谱的唯一性，这三条逻辑已经把他之前推导中那个模稜两可的测度依赖空间彻底填平了。
他往后靠了靠，椅背发出一声轻响，嘴唇动了动，没说话，但旁边的李伟亮看见他已经在笔记本上快速写起了什么。
他正要和彭远征说些什么，另一边的赵维仁又开口了。
“肖教授，我叫赵维仁，是做高能理论物理的。
上次你和高能所合作的那篇论文，用张量范畴给拓扑相保护机制建模，那个思路我看完以后一直在琢磨著怎么推广到强关联电子系统上。
铜氧化物超导体里的贗能隙相，它的拓扑序至今没有完整的数学描述，我们实验室对这个有些想法。
不过听您刚才和彭老师討论的鞍点估计，我想到一个相关的难点。”
赵维仁站起身来走到白板前，在肖宿写的跡类条件旁边虚虚地点了一下：
“贗能隙相的低能有效理论里，配分函数的鞍点结构正好是无穷维的。
如果把配分函数放在巴拿赫空间里做鞍点展开，那跡类条件是否直接约束了低能激发谱的拓扑结构？
换句话说，是不是只有满足跡类条件的那些低能模式，才能对拓扑序產生贡献？”
这个问题一出来，彭远征先抬起了头，鞠知行也放下了手里的笔。
赵维仁不是在重复刚才的討论，他是把巴拿赫鞍点估计和张量范畴两个看似不相关的工具给串起来了。
眾人齐刷刷盯著肖宿，都好奇他到底会怎么回答。
“可以对接。”
肖宿几乎没怎么思考，他在白板上画了两个圈，一个標著巴拿赫鞍点展开，一个標著张量范畴，然后画了一条连线。
“贗能隙相的配分函数做巴拿赫鞍点展开之后，鞍点附近的涨落模按照hessian算子的谱分成两组：跡类模对应拓扑序的低能激发，非跡类模对应对称破缺序的高能涨落。
张量范畴描述的那部分任意子激发，恰好就是跡类模在范畴论层面的表示。” ↑返回顶部↑
“速率泛函的形式確实依赖於测度的选取，但是物理上关心的却不是速率泛函本身，而是它在鞍点附近的二阶变分。
而二阶变分和测度无关。”
他在变分条件旁边画了一个等號，“只要巴拿赫空间满足稳定的嵌入性质，鞍点处的hessian算子在所有等价测度下都有相同的谱。
而从物理规律上就能判定，鞍点附近的涨落谱是唯一確定的。
测度的自由度只影响远离鞍点的尾部分布，不影响鞍点附近的主导贡献。”
彭远征盯著那行变分条件，慢慢点了点头：
“如果二阶变分是测度无关的，那大偏差的速率泛函本身虽然不同，但它们在鞍点附近的局部展开是一样的？
这个性质在有限维鞍点近似里是平凡的，但在无穷维巴拿赫空间里应该需要额外的条件，稳定的嵌入性质够不够？”
“不够，还得满足hessian算子是跡类的。”
肖宿在变分条件下面又补了一行，“跡类条件保证了二阶变分的fredholm行列式收敛，这个收敛性在所有等价测度下保持一致，物理上对应鞍点附近涨落的归一化因子是唯一的。”
彭远征看完，眉头彻底舒展开开来，心里的疙瘩一下就没了。
radon-nikodym性质选测度，跡类条件锁二阶变分，稳定的嵌入性质保证谱的唯一性，这三条逻辑已经把他之前推导中那个模稜两可的测度依赖空间彻底填平了。
他往后靠了靠，椅背发出一声轻响，嘴唇动了动，没说话，但旁边的李伟亮看见他已经在笔记本上快速写起了什么。
他正要和彭远征说些什么，另一边的赵维仁又开口了。
“肖教授，我叫赵维仁，是做高能理论物理的。
上次你和高能所合作的那篇论文，用张量范畴给拓扑相保护机制建模，那个思路我看完以后一直在琢磨著怎么推广到强关联电子系统上。
铜氧化物超导体里的贗能隙相，它的拓扑序至今没有完整的数学描述，我们实验室对这个有些想法。
不过听您刚才和彭老师討论的鞍点估计，我想到一个相关的难点。”
赵维仁站起身来走到白板前，在肖宿写的跡类条件旁边虚虚地点了一下：
“贗能隙相的低能有效理论里，配分函数的鞍点结构正好是无穷维的。
如果把配分函数放在巴拿赫空间里做鞍点展开，那跡类条件是否直接约束了低能激发谱的拓扑结构？
换句话说，是不是只有满足跡类条件的那些低能模式，才能对拓扑序產生贡献？”
这个问题一出来，彭远征先抬起了头，鞠知行也放下了手里的笔。
赵维仁不是在重复刚才的討论，他是把巴拿赫鞍点估计和张量范畴两个看似不相关的工具给串起来了。
眾人齐刷刷盯著肖宿，都好奇他到底会怎么回答。
“可以对接。”
肖宿几乎没怎么思考，他在白板上画了两个圈，一个標著巴拿赫鞍点展开，一个標著张量范畴，然后画了一条连线。
“贗能隙相的配分函数做巴拿赫鞍点展开之后，鞍点附近的涨落模按照hessian算子的谱分成两组：跡类模对应拓扑序的低能激发，非跡类模对应对称破缺序的高能涨落。
张量范畴描述的那部分任意子激发，恰好就是跡类模在范畴论层面的表示。” ↑返回顶部↑