第244章 「至此，证明完成。」（2 / 5）
“筛法的思路很简单。
如果你想找出一定范围內所有的素数，你可以先去掉所有能被2整除的数，再去掉所有能被3整除的数，以此类推。
筛到最后，剩下的就是素数。”
他转过身，在黑板上写下一个求和式。
“用数学语言表达，筛法的核心是对莫比乌斯函数μ(d)的求和。
对任意给定的整数集合a，筛函数s(a, z)表示a中所有素因子都大於z的元素个数。
用勒让德筛法，我们可以写出s(a, z)等於∑_{d|p(z)} μ(d)·|a_d|，其中p(z)是所有不超过z的素数的乘积，a_d是a中能被d整除的子集。”
粉笔在黑板上快速移动。
“但问题在於，这个求和式里的误差项，当z增大的时候会迅速失控。
布朗在1920年提出了一个巧妙的修正，不直接用μ(d)，而是用一对精心选取的上下界序列来逼近μ(d)。
塞尔伯格进一步改进了这个方法，用二次型优化来极小化误差。
陈景润先生把这个技术推到了极致，证明了每个充分大的偶数都可以写成一个素数与一个不超过两个素因子的数之和。”
“但是，奇偶性问题始终是筛法迈不过去的坎。”
台下，黄建亚微微点了点头。
他研究了一辈子解析数论，太清楚陈景润那道坎有多难跨越了。
“奇偶性问题的本质是什么？
用筛法估计一个集合中素数的个数时，筛法无法区分一个数有奇数个素因子还是有偶数个素因子。
换句话说，如果一个数恰好是两个不同素数的乘积，筛法会把它和真正的素数混在一起。
这个混淆，在哥德巴赫猜想这种需要精確区分『1+1』的问题上，是致命的。”
“所以，如果只用筛法，这个问题是无解的。”
肖宿顿了顿，拿起粉笔，在黑板的另一边画了一个圆。
“而另一个工具，圆法，走的是完全不同的路径。”
“圆法的核心思想是把离散的加法问题转化为连续空间里的积分。
设r(n)为將偶数n写成两个素数之和的表法个数，那么根据圆法的基本恆等式，r(n)可以表示为∫_0^1 s(α)^2·e(-nα) dα，其中s(α)是指数和∑_{p≤n} e(pα)，e(x)是e^{2πi x}。”
他在黑板上写下这个积分表达式。
“这个积分的巧妙之处在於，当α接近有理数a/q，也就是所谓的『主弧』区域时，s(α)的行为可以用素数定理来精確估计。
而当α远离有理数，也就是『余弧』区域时，s(α)的贡献很小。
如果我们能证明主弧上的积分主项足够大，而余弧上的积分小到完全可以忽略，那么哥德巴赫猜想就成立了。”
“维诺格拉多夫用这个方法证明了三素数定理，即每个充分大的奇数都可以写成三个素数之和。
但他的方法在偶数的情形下就失效了，因为偶数的哥德巴赫问题涉及的是两个素数的和，主项和余项的竞爭远比三素数的情形更加激烈。 ↑返回顶部↑
如果你想找出一定范围內所有的素数，你可以先去掉所有能被2整除的数，再去掉所有能被3整除的数，以此类推。
筛到最后，剩下的就是素数。”
他转过身，在黑板上写下一个求和式。
“用数学语言表达，筛法的核心是对莫比乌斯函数μ(d)的求和。
对任意给定的整数集合a，筛函数s(a, z)表示a中所有素因子都大於z的元素个数。
用勒让德筛法，我们可以写出s(a, z)等於∑_{d|p(z)} μ(d)·|a_d|，其中p(z)是所有不超过z的素数的乘积，a_d是a中能被d整除的子集。”
粉笔在黑板上快速移动。
“但问题在於，这个求和式里的误差项，当z增大的时候会迅速失控。
布朗在1920年提出了一个巧妙的修正，不直接用μ(d)，而是用一对精心选取的上下界序列来逼近μ(d)。
塞尔伯格进一步改进了这个方法，用二次型优化来极小化误差。
陈景润先生把这个技术推到了极致，证明了每个充分大的偶数都可以写成一个素数与一个不超过两个素因子的数之和。”
“但是，奇偶性问题始终是筛法迈不过去的坎。”
台下，黄建亚微微点了点头。
他研究了一辈子解析数论，太清楚陈景润那道坎有多难跨越了。
“奇偶性问题的本质是什么？
用筛法估计一个集合中素数的个数时，筛法无法区分一个数有奇数个素因子还是有偶数个素因子。
换句话说，如果一个数恰好是两个不同素数的乘积，筛法会把它和真正的素数混在一起。
这个混淆，在哥德巴赫猜想这种需要精確区分『1+1』的问题上，是致命的。”
“所以，如果只用筛法，这个问题是无解的。”
肖宿顿了顿，拿起粉笔，在黑板的另一边画了一个圆。
“而另一个工具，圆法，走的是完全不同的路径。”
“圆法的核心思想是把离散的加法问题转化为连续空间里的积分。
设r(n)为將偶数n写成两个素数之和的表法个数，那么根据圆法的基本恆等式，r(n)可以表示为∫_0^1 s(α)^2·e(-nα) dα，其中s(α)是指数和∑_{p≤n} e(pα)，e(x)是e^{2πi x}。”
他在黑板上写下这个积分表达式。
“这个积分的巧妙之处在於，当α接近有理数a/q，也就是所谓的『主弧』区域时，s(α)的行为可以用素数定理来精確估计。
而当α远离有理数，也就是『余弧』区域时，s(α)的贡献很小。
如果我们能证明主弧上的积分主项足够大，而余弧上的积分小到完全可以忽略，那么哥德巴赫猜想就成立了。”
“维诺格拉多夫用这个方法证明了三素数定理，即每个充分大的奇数都可以写成三个素数之和。
但他的方法在偶数的情形下就失效了，因为偶数的哥德巴赫问题涉及的是两个素数的和，主项和余项的竞爭远比三素数的情形更加激烈。 ↑返回顶部↑