第65章 顺手证了（3 / 5）
肖宿盯著那行字看了很久，然后在白板上加了一行公式。
用李代数的结构常数来构造这个分布。
然后他又借了《李群作用下的动力系统》，读到“轨道类型分解”那一节时，他停了下来。
这一章写到，如果李群的作用是光滑的，那么流形上的点可以根据迷向子群的共軛类来分类，每一类构成一个光滑子流形。
这些子流形，就是轨道的“型”。
肖宿的脑海里闪过一个念头。
迷向子群，固定某个点的那些群元素构成的子群。
不同的点，可能有不同类型的迷向子群。
如果能证明，全局最优解的迷向子群类型是唯一的，或者至少是罕见的，那就可以反过来，先找所有可能的迷向子群类型，然后只搜索那些可能包含全局最优的类型。
这个想法比他之前设想的“不变量”更精细。
不变量是標量函数，太粗了。
迷向子群类型是代数结构，信息量大多了。
他立刻在笔记本上把这个思路记下来，然后开始推导。
之后，他用了一整个上午来验证这个思路在简单例子上的可行性。
他先构造了几个低维的测试函数，每个函数都定义一个简单的李群作用，即旋转群或者平移群。
然后他计算每个点上的迷向子群，分类，再对比这些分类和函数极值点的分布。
结果比他预想的要好。
在旋转对称的函数上，全局最优点恰好是迷向子群最大的那些点，也就是旋转对称性最高的点。
在平移对称的函数上，全局最优点落在迷向子群平凡的轨道上，也就是没有任何对称性的点。
两种极端，但都有规律。
肖宿靠在椅背上，看著白板上密密麻麻的推导，长长地呼出一口气。
可行。
至少在简单例子上，可行。
接下来要做的，是把这套方法推广到一般情况。
需要证明存在性，需要给出构造算法，需要分析计算复杂度，需要验证在高维非线性系统上的表现……
事情还很多。
但最难的关口，已经过了。
肖宿站起身，活动了一下有些僵硬的肩膀。
接下来几天，肖宿沿著这个方向不断思考，终於在一个雨天写完了最终的论文。
他靠在椅背上，盯著屏幕上那篇三十七页的文档，发了几秒钟的呆。 ↑返回顶部↑
用李代数的结构常数来构造这个分布。
然后他又借了《李群作用下的动力系统》，读到“轨道类型分解”那一节时，他停了下来。
这一章写到，如果李群的作用是光滑的，那么流形上的点可以根据迷向子群的共軛类来分类，每一类构成一个光滑子流形。
这些子流形，就是轨道的“型”。
肖宿的脑海里闪过一个念头。
迷向子群，固定某个点的那些群元素构成的子群。
不同的点，可能有不同类型的迷向子群。
如果能证明，全局最优解的迷向子群类型是唯一的，或者至少是罕见的，那就可以反过来，先找所有可能的迷向子群类型，然后只搜索那些可能包含全局最优的类型。
这个想法比他之前设想的“不变量”更精细。
不变量是標量函数，太粗了。
迷向子群类型是代数结构，信息量大多了。
他立刻在笔记本上把这个思路记下来，然后开始推导。
之后，他用了一整个上午来验证这个思路在简单例子上的可行性。
他先构造了几个低维的测试函数，每个函数都定义一个简单的李群作用，即旋转群或者平移群。
然后他计算每个点上的迷向子群，分类，再对比这些分类和函数极值点的分布。
结果比他预想的要好。
在旋转对称的函数上，全局最优点恰好是迷向子群最大的那些点，也就是旋转对称性最高的点。
在平移对称的函数上，全局最优点落在迷向子群平凡的轨道上，也就是没有任何对称性的点。
两种极端，但都有规律。
肖宿靠在椅背上，看著白板上密密麻麻的推导，长长地呼出一口气。
可行。
至少在简单例子上，可行。
接下来要做的，是把这套方法推广到一般情况。
需要证明存在性，需要给出构造算法，需要分析计算复杂度，需要验证在高维非线性系统上的表现……
事情还很多。
但最难的关口，已经过了。
肖宿站起身，活动了一下有些僵硬的肩膀。
接下来几天，肖宿沿著这个方向不断思考，终於在一个雨天写完了最终的论文。
他靠在椅背上，盯著屏幕上那篇三十七页的文档，发了几秒钟的呆。 ↑返回顶部↑