第65章 顺手证了（2 / 5）
如果能构造出这样一个结构，让优化问题的局部最优解落在不同的叶子上，全局最优解落在某片特定的叶子上，那就可以先找叶子，再找叶子上的点。
搜索空间被压缩了。
从整个高维空间，压缩到几片低维流形上。
肖宿在笔记本上写下一个词：叶状结构。
又写下另一个词：李群作用。
如果能在目標函数的定义域上定义一个李群作用，然后用群作用的轨道来分叶，那么同一个轨道上的点，必然具有某种相同的性质。
如果能证明全局最优解一定落在某种特定轨道类型上，那就可以先用群论把轨道类型分类，再在少数几类轨道里精细搜索。
理论上是可行的。
但问题也接踵而至。
首先，目標函数的结构是未知的。
如果是黑箱问题，只知道输入输出数据，怎么定义群作用？
其次，即使能定义群作用，怎么保证轨道分叶和优化问题的极值结构是兼容的？
如果一片叶子里既有高峰又有低谷，那分了也是白分。
第三，也是最难的，怎么定位全局最优解所在的那片叶子？
这需要某种“不变量”，一个在群作用下保持不变却能指示极值位置的標量函数。
肖宿在笔记本上写下三个问號，然后盯著它们出神。
窗外的蝉鸣越发响了。
图书馆里的冷气开得很足，他的指尖却微微发热。
这些问题，每一个都够想很久。
但至少，方向有了。
接下来的几天，肖宿的生活变得极其简单。
早上七点半，从寢室走到图书馆，三楼靠窗那张桌子，坐下，翻开书。
中午去食堂隨便吃点，回来继续。
傍晚闭馆，回寢室洗漱，然后去数学研究院的那间小办公室，继续待到深夜。
办公室白板上的字跡从零散变成密集，又从密集被擦掉重来。
然后，他在白板上画了一个简单的二维测试函数。它有两个驼峰，一个高一个低，全局最优解就在矮的那个上。
他试著用自己设想的方法构造叶状结构，但是失败了。
分叶的唯一性保证不了，同一个点能分到不同叶子上，后续的优化结果跟著乱跑。
之后，他从图书馆借来一本《黎曼流形的叶状结构理论》，翻到后半部分，重新研究“叶状结构的正则性”那一章。
“要保证叶状结构唯一，需要定义一个在流形上处处非退化的可积分布。” ↑返回顶部↑
搜索空间被压缩了。
从整个高维空间，压缩到几片低维流形上。
肖宿在笔记本上写下一个词：叶状结构。
又写下另一个词：李群作用。
如果能在目標函数的定义域上定义一个李群作用，然后用群作用的轨道来分叶，那么同一个轨道上的点，必然具有某种相同的性质。
如果能证明全局最优解一定落在某种特定轨道类型上，那就可以先用群论把轨道类型分类，再在少数几类轨道里精细搜索。
理论上是可行的。
但问题也接踵而至。
首先，目標函数的结构是未知的。
如果是黑箱问题，只知道输入输出数据，怎么定义群作用？
其次，即使能定义群作用，怎么保证轨道分叶和优化问题的极值结构是兼容的？
如果一片叶子里既有高峰又有低谷，那分了也是白分。
第三，也是最难的，怎么定位全局最优解所在的那片叶子？
这需要某种“不变量”，一个在群作用下保持不变却能指示极值位置的標量函数。
肖宿在笔记本上写下三个问號，然后盯著它们出神。
窗外的蝉鸣越发响了。
图书馆里的冷气开得很足，他的指尖却微微发热。
这些问题，每一个都够想很久。
但至少，方向有了。
接下来的几天，肖宿的生活变得极其简单。
早上七点半，从寢室走到图书馆，三楼靠窗那张桌子，坐下，翻开书。
中午去食堂隨便吃点，回来继续。
傍晚闭馆，回寢室洗漱，然后去数学研究院的那间小办公室，继续待到深夜。
办公室白板上的字跡从零散变成密集，又从密集被擦掉重来。
然后，他在白板上画了一个简单的二维测试函数。它有两个驼峰，一个高一个低，全局最优解就在矮的那个上。
他试著用自己设想的方法构造叶状结构，但是失败了。
分叶的唯一性保证不了，同一个点能分到不同叶子上，后续的优化结果跟著乱跑。
之后，他从图书馆借来一本《黎曼流形的叶状结构理论》，翻到后半部分，重新研究“叶状结构的正则性”那一章。
“要保证叶状结构唯一，需要定义一个在流形上处处非退化的可积分布。” ↑返回顶部↑