第108章 你很不错（2 / 4）
“好，那你上来试试吧。”
李东走上讲台，想也没想直接在黑板上写了起来。
他知道这道题的陷阱在哪。
很多人看到这题，第一反应是对v1和v2分別进行扩基，但这会导致后面构造出的w
无法同时满足两个直和条件。
真正的切入点，在於先处理它们的交空间。
第一步：处理交集与扩基。
李东写下核心思路：先取v1nv2的一组基，然后利用“子空间扩基定理”，將其分別扩充为v1的基和v2的基。
刘教授站在一旁，暗暗点头。
“基本功很扎实，直觉好敏锐，第一步就避开了最大的陷阱。”
第二步：证明线性无关。
这是整道题最难啃的骨头。
李东没有陷入繁琐的死算，而是直指本质：他设出b组和c组向量的线性组合等於0
的方程，巧妙地一移项：等式左边全属於v1，右边全属於v2，那它们自然都属於交集v1nv2。
接著代入第一步的交集基底，利用已知基向量的线性无关性，三两步就反推出所有的组合係数必须全为0。
乾净利落地证明了b组和c组向量合併后，依然线性无关！
第三步：构造补空间w。
既然前面的β组和y组向量合併后依然线性无关，那就再用一次扩基定理，把它们连同交空间的基一起，扩充为整个空间v的一组基！
李东在黑板上圈出了β组和y组的向量，再给每一对β—i和y—i都加上了加號，圈出扩基时最后补充的那组全新η向量。
“令这组b—i+y—i的组合向量，和新增的η向量，共同生成的子空间为w。”
隨后，就是几行简明的维度计算。
无论是v1还是v2，它们的维数加上w的维数，刚好都等於总维数n，且与w的交集均为零空间。
故v=v1⊕w=v2⊕w。
满足条件的子空间w存在，证毕！
“叮铃铃。”
几乎就在李东落下最后一个字的同时，下课铃声响起了。
刘若传教授站在原地，仔细的看了一遍黑板上的证明过程，然后转头看向李东。
“很不错。”
这三个字，对於一个本科新生来说，是莫大的肯定。
此时，台下的那些顶级学霸们都看来傻眼了。 ↑返回顶部↑
李东走上讲台，想也没想直接在黑板上写了起来。
他知道这道题的陷阱在哪。
很多人看到这题，第一反应是对v1和v2分別进行扩基，但这会导致后面构造出的w
无法同时满足两个直和条件。
真正的切入点，在於先处理它们的交空间。
第一步：处理交集与扩基。
李东写下核心思路：先取v1nv2的一组基，然后利用“子空间扩基定理”，將其分別扩充为v1的基和v2的基。
刘教授站在一旁，暗暗点头。
“基本功很扎实，直觉好敏锐，第一步就避开了最大的陷阱。”
第二步：证明线性无关。
这是整道题最难啃的骨头。
李东没有陷入繁琐的死算，而是直指本质：他设出b组和c组向量的线性组合等於0
的方程，巧妙地一移项：等式左边全属於v1，右边全属於v2，那它们自然都属於交集v1nv2。
接著代入第一步的交集基底，利用已知基向量的线性无关性，三两步就反推出所有的组合係数必须全为0。
乾净利落地证明了b组和c组向量合併后，依然线性无关！
第三步：构造补空间w。
既然前面的β组和y组向量合併后依然线性无关，那就再用一次扩基定理，把它们连同交空间的基一起，扩充为整个空间v的一组基！
李东在黑板上圈出了β组和y组的向量，再给每一对β—i和y—i都加上了加號，圈出扩基时最后补充的那组全新η向量。
“令这组b—i+y—i的组合向量，和新增的η向量，共同生成的子空间为w。”
隨后，就是几行简明的维度计算。
无论是v1还是v2，它们的维数加上w的维数，刚好都等於总维数n，且与w的交集均为零空间。
故v=v1⊕w=v2⊕w。
满足条件的子空间w存在，证毕！
“叮铃铃。”
几乎就在李东落下最后一个字的同时，下课铃声响起了。
刘若传教授站在原地，仔细的看了一遍黑板上的证明过程，然后转头看向李东。
“很不错。”
这三个字，对於一个本科新生来说，是莫大的肯定。
此时，台下的那些顶级学霸们都看来傻眼了。 ↑返回顶部↑